Resolver {l}{3x-3y=-6}{4x+3y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 3 y = - 6 } \\ { 4 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-3y=-6$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$3x=3y-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -6+3y.

$$x=y-2$$

Substitúe x por y-2 na outra ecuación, 4x+3y=-1.

$$4\left(y-2\right)+3y=-1$$

Multiplica 4 por y-2.

$$4y-8+3y=-1$$

Suma 4y a 3y.

$$7y-8=-1$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$7y=7$$

Divide ambos lados entre 7.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=1-2$$

Suma -2 a 1.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{4}{21}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\\-\frac{4}{21}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-3y=-6,4x+3y=-1$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-6\right),3\times 4x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$12x-12y=-24,12x+9y=-3$$

Resta 12x+9y=-3 de 12x-12y=-24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-12y-9y=-24+3$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y-9y=-24+3$$

Suma -12y a -9y.

$$-21y=-24+3$$

Suma -24 a 3.

$$-21y=-21$$

Divide ambos lados entre -21.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 4x+3y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3=-1$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$4x=-4$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=1$$