Resolver {l}{3x+y=1}{4x+4y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + y = 1 } \\ { 4 x + 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{8}=0.125$$

$$y=\frac{5}{8}=0.625$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=1$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+1}{3} na outra ecuación, 4x+4y=3.

$$4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=3$$

Multiplica 4 por \frac{-y+1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{4}{3}+4y=3$$

Suma -\frac{4y}{3} a 4y.

$$\frac{8}{3}y+\frac{4}{3}=3$$

Resta \frac{4}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{3}y=\frac{5}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{5}{8}$$

Substitúe y por \frac{5}{8} en x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{5}{8}+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por \frac{5}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{5}{24}+\frac{1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a -\frac{5}{24} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-4}&-\frac{1}{3\times 4-4}\\-\frac{4}{3\times 4-4}&\frac{3}{3\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\times 3\\-\frac{1}{2}+\frac{3}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=1,4x+4y=3$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4y=4,3\times 4x+3\times 4y=3\times 3$$

Simplifica.

$$12x+4y=4,12x+12y=9$$

Resta 12x+12y=9 de 12x+4y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+4y-12y=4-9$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-12y=4-9$$

Suma 4y a -12y.

$$-8y=4-9$$

Suma 4 a -9.

$$-8y=-5$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=\frac{5}{8}$$

Substitúe y por \frac{5}{8} en 4x+4y=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+4\times \frac{5}{8}=3$$

Multiplica 4 por \frac{5}{8}.

$$4x+\frac{5}{2}=3$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{1}{2}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{8},y=\frac{5}{8}$$