Resolver {l}{3t-2u=7}{9t-5u=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 t - 2 u = 7 } \\ { 9 t - 5 u = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver t, u

$$t=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$u=-3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a t mediante o illamento de t no lado esquerdo do signo igual.

$$3t-2u=7$$

Suma 2u en ambos lados da ecuación.

$$3t=2u+7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$t=\frac{1}{3}\left(2u+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2u+7.

$$t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}$$

Substitúe t por \frac{2u+7}{3} na outra ecuación, 9t-5u=18.

$$9\left(\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}\right)-5u=18$$

Multiplica 9 por \frac{2u+7}{3}.

$$6u+21-5u=18$$

Suma 6u a -5u.

$$u+21=18$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$u=-3$$

Substitúe u por -3 en t=\frac{2}{3}u+\frac{7}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar t directamente.

$$t=\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{7}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por -3.

$$t=-2+\frac{7}{3}$$

Suma \frac{7}{3} a -2.

$$t=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&-\frac{-2}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-2\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}&\frac{2}{3}\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3}\times 7+\frac{2}{3}\times 18\\-3\times 7+18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}t\\u\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz t e u.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3t-2u=7,9t-5u=18$$

Para que 3t e 9t sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$9\times 3t+9\left(-2\right)u=9\times 7,3\times 9t+3\left(-5\right)u=3\times 18$$

Simplifica.

$$27t-18u=63,27t-15u=54$$

Resta 27t-15u=54 de 27t-18u=63 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$27t-27t-18u+15u=63-54$$

Suma 27t a -27t. 27t e -27t anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-18u+15u=63-54$$

Suma -18u a 15u.

$$-3u=63-54$$

Suma 63 a -54.

$$-3u=9$$

Divide ambos lados entre -3.

$$u=-3$$

Substitúe u por -3 en 9t-5u=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar t directamente.

$$9t-5\left(-3\right)=18$$

Multiplica -5 por -3.

$$9t+15=18$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$9t=3$$

Divide ambos lados entre 9.

$$t=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$t=\frac{1}{3},u=-3$$