Resolver {l}{3*a+c=5}{a-c=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 \cdot a + c = 5 } \\ { a - c = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver a, c

$$a=3$$

$$c=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$3a+c=5$$

Resta c en ambos lados da ecuación.

$$3a=-c+5$$

Divide ambos lados entre 3.

$$a=\frac{1}{3}\left(-c+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -c+5.

$$a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}$$

Substitúe a por \frac{-c+5}{3} na outra ecuación, a-c=7.

$$-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}-c=7$$

Suma -\frac{c}{3} a -c.

$$-\frac{4}{3}c+\frac{5}{3}=7$$

Resta \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{4}{3}c=\frac{16}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$c=-4$$

Substitúe c por -4 en a=-\frac{1}{3}c+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -4.

$$a=\frac{4+5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a \frac{4}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,c=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{3}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e c.

$$a=3,c=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3a+c=5,a-c=7$$

Para que 3a e a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3a+c=5,3a+3\left(-1\right)c=3\times 7$$

Simplifica.

$$3a+c=5,3a-3c=21$$

Resta 3a-3c=21 de 3a+c=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3a-3a+c+3c=5-21$$

Suma 3a a -3a. 3a e -3a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$c+3c=5-21$$

Suma c a 3c.

$$4c=5-21$$

Suma 5 a -21.

$$4c=-16$$

Divide ambos lados entre 4.

$$c=-4$$

Substitúe c por -4 en a-c=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a-\left(-4\right)=7$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,c=-4$$