Resolver {l}{2x-5y=-21}{3x+2y=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 5 y = - 21 } \\ { 3 x + 2 y = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{62}{19} = -3\frac{5}{19} \approx -3.263157895$$

$$y = \frac{55}{19} = 2\frac{17}{19} \approx 2.894736842$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-5y=-21$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=5y-21$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-21\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 5y-21.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}$$

Substitúe x por \frac{5y-21}{2} na outra ecuación, 3x+2y=-4.

$$3\left(\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}\right)+2y=-4$$

Multiplica 3 por \frac{5y-21}{2}.

$$\frac{15}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-4$$

Suma \frac{15y}{2} a 2y.

$$\frac{19}{2}y-\frac{63}{2}=-4$$

Suma \frac{63}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{2}y=\frac{55}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{55}{19}$$

Substitúe y por \frac{55}{19} en x=\frac{5}{2}y-\frac{21}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{2}\times \frac{55}{19}-\frac{21}{2}$$

Multiplica \frac{5}{2} por \frac{55}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{275}{38}-\frac{21}{2}$$

Suma -\frac{21}{2} a \frac{275}{38} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{62}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-21\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-21\right)+\frac{5}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{19}\left(-21\right)+\frac{2}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{62}{19}\\\frac{55}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-5y=-21,3x+2y=-4$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-5\right)y=3\left(-21\right),2\times 3x+2\times 2y=2\left(-4\right)$$

Simplifica.

$$6x-15y=-63,6x+4y=-8$$

Resta 6x+4y=-8 de 6x-15y=-63 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-15y-4y=-63+8$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-4y=-63+8$$

Suma -15y a -4y.

$$-19y=-63+8$$

Suma -63 a 8.

$$-19y=-55$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=\frac{55}{19}$$

Substitúe y por \frac{55}{19} en 3x+2y=-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times \frac{55}{19}=-4$$

Multiplica 2 por \frac{55}{19}.

$$3x+\frac{110}{19}=-4$$

Resta \frac{110}{19} en ambos lados da ecuación.

$$3x=-\frac{186}{19}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{62}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{62}{19},y=\frac{55}{19}$$