Resolver {l}{2x-4y=10}{6x-4y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 4 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$y = -\frac{19}{8} = -2\frac{3}{8} = -2.375$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-4y=10$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=4y+10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(4y+10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 4y+10.

$$x=2y+5$$

Substitúe x por 2y+5 na outra ecuación, 6x-4y=11.

$$6\left(2y+5\right)-4y=11$$

Multiplica 6 por 2y+5.

$$12y+30-4y=11$$

Suma 12y a -4y.

$$8y+30=11$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$8y=-19$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=-\frac{19}{8}$$

Substitúe y por -\frac{19}{8} en x=2y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\left(-\frac{19}{8}\right)+5$$

Multiplica 2 por -\frac{19}{8}.

$$x=-\frac{19}{4}+5$$

Suma 5 a -\frac{19}{4}.

$$x=\frac{1}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-4\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 10+\frac{1}{4}\times 11\\-\frac{3}{8}\times 10+\frac{1}{8}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\\-\frac{19}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-4y=10,6x-4y=11$$

Resta 6x-4y=11 de 2x-4y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-6x-4y+4y=10-11$$

Suma -4y a 4y. -4y e 4y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-6x=10-11$$

Suma 2x a -6x.

$$-4x=10-11$$

Suma 10 a -11.

$$-4x=-1$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=\frac{1}{4}$$

Substitúe x por \frac{1}{4} en 6x-4y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$6\times \frac{1}{4}-4y=11$$

Multiplica 6 por \frac{1}{4}.

$$\frac{3}{2}-4y=11$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-4y=\frac{19}{2}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-\frac{19}{8}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{1}{4},y=-\frac{19}{8}$$