Resolver {l}{2x-3y=-1}{2x+3y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 1 } \\ { 2 x + 3 y = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} = 3.75$$

$$y = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} \approx 2.833333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=-1$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y-1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y-1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y-1}{2} na outra ecuación, 2x+3y=16.

$$2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=16$$

Multiplica 2 por \frac{3y-1}{2}.

$$3y-1+3y=16$$

Suma 3y a 3y.

$$6y-1=16$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$6y=17$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=\frac{17}{6}$$

Substitúe y por \frac{17}{6} en x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{17}{6}-\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{17}{6} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{17}{4}-\frac{1}{2}$$

Suma -\frac{1}{2} a \frac{17}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{15}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 16\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)+\frac{1}{6}\times 16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{4}\\\frac{17}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=-1,2x+3y=16$$

Resta 2x+3y=16 de 2x-3y=-1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-3y-3y=-1-16$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-3y=-1-16$$

Suma -3y a -3y.

$$-6y=-1-16$$

Suma -1 a -16.

$$-6y=-17$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=\frac{17}{6}$$

Substitúe y por \frac{17}{6} en 2x+3y=16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\times \frac{17}{6}=16$$

Multiplica 3 por \frac{17}{6}.

$$2x+\frac{17}{2}=16$$

Resta \frac{17}{2} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{15}{2}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{15}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{15}{4},y=\frac{17}{6}$$