Resolver {l}{2x+y=8}{x-2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 8 } \\ { x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=8$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+4 na outra ecuación, x-2y=-1.

$$-\frac{1}{2}y+4-2y=-1$$

Suma -\frac{y}{2} a -2y.

$$-\frac{5}{2}y+4=-1$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}y=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 2.

$$x=-1+4$$

Suma 4 a -1.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-1}&\frac{2}{2\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=8,x-2y=-1$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+y=8,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$2x+y=8,2x-4y=-2$$

Resta 2x-4y=-2 de 2x+y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+y+4y=8+2$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+4y=8+2$$

Suma y a 4y.

$$5y=8+2$$

Suma 8 a 2.

$$5y=10$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x-2y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-2\times 2=-1$$

Multiplica -2 por 2.

$$x-4=-1$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=2$$