Resolver {l}{2x+y=45}{3x+5y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+y=45$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-y+45$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -y+45.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

Substitúe x por \frac{-y+45}{2} na outra ecuación, 3x+5y=70.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

Multiplica 3 por \frac{-y+45}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

Suma -\frac{3y}{2} a 5y.

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

Resta \frac{135}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{5}{7}$$

Substitúe y por \frac{5}{7} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{5}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

Suma \frac{45}{2} a -\frac{5}{14} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{155}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

Simplifica.

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

Resta 6x+10y=140 de 6x+3y=135 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-10y=135-140$$

Suma 3y a -10y.

$$-7y=135-140$$

Suma 135 a -140.

$$-7y=-5$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=\frac{5}{7}$$

Substitúe y por \frac{5}{7} en 3x+5y=70. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

Multiplica 5 por \frac{5}{7}.

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

Resta \frac{25}{7} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{465}{7}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{155}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$