Resolver {l}{2x+5y=130}{4x+3y=218}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 130 } \\ { 4 x + 3 y = 218 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=50$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+5y=130$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-5y+130$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+130\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -5y+130.

$$x=-\frac{5}{2}y+65$$

Substitúe x por -\frac{5y}{2}+65 na outra ecuación, 4x+3y=218.

$$4\left(-\frac{5}{2}y+65\right)+3y=218$$

Multiplica 4 por -\frac{5y}{2}+65.

$$-10y+260+3y=218$$

Suma -10y a 3y.

$$-7y+260=218$$

Resta 260 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=-42$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{5}{2}y+65. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{2}\times 6+65$$

Multiplica -\frac{5}{2} por 6.

$$x=-15+65$$

Suma 65 a -15.

$$x=50$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=50,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5\times 4}&-\frac{5}{2\times 3-5\times 4}\\-\frac{4}{2\times 3-5\times 4}&\frac{2}{2\times 3-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\218\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{14}\times 130+\frac{5}{14}\times 218\\\frac{2}{7}\times 130-\frac{1}{7}\times 218\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=50,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+5y=130,4x+3y=218$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\times 5y=4\times 130,2\times 4x+2\times 3y=2\times 218$$

Simplifica.

$$8x+20y=520,8x+6y=436$$

Resta 8x+6y=436 de 8x+20y=520 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+20y-6y=520-436$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y-6y=520-436$$

Suma 20y a -6y.

$$14y=520-436$$

Suma 520 a -436.

$$14y=84$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 4x+3y=218. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+3\times 6=218$$

Multiplica 3 por 6.

$$4x+18=218$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$4x=200$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=50$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=50,y=6$$