Resolver {l}{2x+4y=5}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 5 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+4y=5$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4y+5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+5.

$$x=-2y+\frac{5}{2}$$

Substitúe x por -2y+\frac{5}{2} na outra ecuación, x+y=0.

$$-2y+\frac{5}{2}+y=0$$

Suma -2y a y.

$$-y+\frac{5}{2}=0$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-y=-\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=\frac{5}{2}$$

Substitúe y por \frac{5}{2} en x=-2y+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{5}{2}+\frac{5}{2}$$

Multiplica -2 por \frac{5}{2}.

$$x=-5+\frac{5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a -5.

$$x=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5\\\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir y en ambos lados.

$$x+y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+4y=5,x+y=0$$

Para que 2x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2x+4y=5,2x+2y=0$$

Resta 2x+2y=0 de 2x+4y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+4y-2y=5$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-2y=5$$

Suma 4y a -2y.

$$2y=5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{5}{2}$$

Substitúe y por \frac{5}{2} en x+y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+\frac{5}{2}=0$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{5}{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{5}{2},y=\frac{5}{2}$$