Resolver {l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+2y=6$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2y+6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -2y+6.

$$x=-y+3$$

Substitúe x por -y+3 na outra ecuación, -5x+7y=11.

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

Multiplica -5 por -y+3.

$$5y-15+7y=11$$

Suma 5y a 7y.

$$12y-15=11$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$12y=26$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=\frac{13}{6}$$

Substitúe y por \frac{13}{6} en x=-y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

Suma 3 a -\frac{13}{6}.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

Para que 2x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

Simplifica.

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

Resta -10x+14y=22 de -10x-10y=-30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

Suma -10x a 10x. -10x e 10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y-14y=-30-22$$

Suma -10y a -14y.

$$-24y=-30-22$$

Suma -30 a -22.

$$-24y=-52$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=\frac{13}{6}$$

Substitúe y por \frac{13}{6} en -5x+7y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

Multiplica 7 por \frac{13}{6}.

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

Resta \frac{91}{6} en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$