Resolver {l}{2a+6d=0}{a+4d=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 6 d = 0 } \\ { a + 4 d = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver a, d

$$a=-63$$

$$d=21$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$2a+6d=0$$

Resta 6d en ambos lados da ecuación.

$$2a=-6d$$

Divide ambos lados entre 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-6\right)d$$

Multiplica \frac{1}{2} por -6d.

$$a=-3d$$

Substitúe a por -3d na outra ecuación, a+4d=21.

$$-3d+4d=21$$

Suma -3d a 4d.

$$d=21$$

Substitúe d por 21 en a=-3d. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-3\times 21$$

Multiplica -3 por 21.

$$a=-63$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-63,d=21$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-6}&-\frac{6}{2\times 4-6}\\-\frac{1}{2\times 4-6}&\frac{2}{2\times 4-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 21\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\21\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e d.

$$a=-63,d=21$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

Para que 2a e a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2a+6d=0,2a+2\times 4d=2\times 21$$

Simplifica.

$$2a+6d=0,2a+8d=42$$

Resta 2a+8d=42 de 2a+6d=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2a-2a+6d-8d=-42$$

Suma 2a a -2a. 2a e -2a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6d-8d=-42$$

Suma 6d a -8d.

$$-2d=-42$$

Divide ambos lados entre -2.

$$d=21$$

Substitúe d por 21 en a+4d=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a+4\times 21=21$$

Multiplica 4 por 21.

$$a+84=21$$

Resta 84 en ambos lados da ecuación.

$$a=-63$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=-63,d=21$$