Resolver {l}{2+3x-y=20}{x-2=y+2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x - 2 = y + 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2 en ambos lados.

$$3x-y=20-2$$

Resta 2 de 20 para obter 18.

$$3x-y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-2-y=2$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$x-y=2+2$$

Suma 2 e 2 para obter 4.

$$x-y=4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=18,x-y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=18$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+18$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+18.

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

Substitúe x por \frac{y}{3}+6 na outra ecuación, x-y=4.

$$\frac{1}{3}y+6-y=4$$

Suma \frac{y}{3} a -y.

$$-\frac{2}{3}y+6=4$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{3}y=-2$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{1}{3}y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

Multiplica \frac{1}{3} por 3.

$$x=1+6$$

Suma 6 a 1.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2 en ambos lados.

$$3x-y=20-2$$

Resta 2 de 20 para obter 18.

$$3x-y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-2-y=2$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$x-y=2+2$$

Suma 2 e 2 para obter 4.

$$x-y=4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=18,x-y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 18-\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 18-\frac{3}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2 en ambos lados.

$$3x-y=20-2$$

Resta 2 de 20 para obter 18.

$$3x-y=18$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-2-y=2$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$x-y=2+2$$

Suma 2 e 2 para obter 4.

$$x-y=4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=18,x-y=4$$

Resta x-y=4 de 3x-y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-x-y+y=18-4$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x-x=18-4$$

Suma 3x a -x.

$$2x=18-4$$

Suma 18 a -4.

$$2x=14$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=7$$

Substitúe x por 7 en x-y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$7-y=4$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=3$$