Resolver {l}{2+3x-y=20}{x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y+2=20$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x-y=18$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+18$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+18.

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

Substitúe x por \frac{y}{3}+6 na outra ecuación, x+2y=13.

$$\frac{1}{3}y+6+2y=13$$

Suma \frac{y}{3} a 2y.

$$\frac{7}{3}y+6=13$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{3}y=7$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{1}{3}y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

Multiplica \frac{1}{3} por 3.

$$x=1+6$$

Suma 6 a 1.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 18+\frac{1}{7}\times 13\\-\frac{1}{7}\times 18+\frac{3}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x-y+2=20,3x+3\times 2y=3\times 13$$

Simplifica.

$$3x-y+2=20,3x+6y=39$$

Resta 3x+6y=39 de 3x-y+2=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-y-6y+2=20-39$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-6y+2=20-39$$

Suma -y a -6y.

$$-7y+2=20-39$$

Suma 20 a -39.

$$-7y+2=-19$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=-21$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x+2y=13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+2\times 3=13$$

Multiplica 2 por 3.

$$x+6=13$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=3$$