Resolver {l}{18x-14y=-5}{18x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 x - 14 y = - 5 } \\ { 18 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{145}{144} = -1\frac{1}{144} \approx -1.006944444$$

$$y=-\frac{15}{16}=-0.9375$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$18x-14y=-5$$

Suma 14y en ambos lados da ecuación.

$$18x=14y-5$$

Divide ambos lados entre 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(14y-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{18} por 14y-5.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}$$

Substitúe x por \frac{7y}{9}-\frac{5}{18} na outra ecuación, 18x+2y=-20.

$$18\left(\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}\right)+2y=-20$$

Multiplica 18 por \frac{7y}{9}-\frac{5}{18}.

$$14y-5+2y=-20$$

Suma 14y a 2y.

$$16y-5=-20$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$16y=-15$$

Divide ambos lados entre 16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

Substitúe y por -\frac{15}{16} en x=\frac{7}{9}y-\frac{5}{18}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{7}{9}\left(-\frac{15}{16}\right)-\frac{5}{18}$$

Multiplica \frac{7}{9} por -\frac{15}{16} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{35}{48}-\frac{5}{18}$$

Suma -\frac{5}{18} a -\frac{35}{48} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{145}{144}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-14\\18&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&-\frac{-14}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\\-\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}&\frac{18}{18\times 2-\left(-14\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}&\frac{7}{144}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{144}\left(-5\right)+\frac{7}{144}\left(-20\right)\\-\frac{1}{16}\left(-5\right)+\frac{1}{16}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{145}{144}\\-\frac{15}{16}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$18x-14y=-5,18x+2y=-20$$

Resta 18x+2y=-20 de 18x-14y=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x-14y-2y=-5+20$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-14y-2y=-5+20$$

Suma -14y a -2y.

$$-16y=-5+20$$

Suma -5 a 20.

$$-16y=15$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=-\frac{15}{16}$$

Substitúe y por -\frac{15}{16} en 18x+2y=-20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$18x+2\left(-\frac{15}{16}\right)=-20$$

Multiplica 2 por -\frac{15}{16}.

$$18x-\frac{15}{8}=-20$$

Suma \frac{15}{8} en ambos lados da ecuación.

$$18x=-\frac{145}{8}$$

Divide ambos lados entre 18.

$$x=-\frac{145}{144}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{145}{144},y=-\frac{15}{16}$$