Resolver {l}{12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$12x-5y=40$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$12x=5y+40$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

Multiplica \frac{1}{12} por 40+5y.

$$x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}$$

Substitúe x por \frac{10}{3}+\frac{5y}{12} na outra ecuación, 12x-11y=88.

$$12\left(\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

Multiplica 12 por \frac{10}{3}+\frac{5y}{12}.

$$5y+40-11y=88$$

Suma 5y a -11y.

$$-6y+40=88$$

Resta 40 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=48$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en x=\frac{5}{12}y+\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{12}\left(-8\right)+\frac{10}{3}$$

Multiplica \frac{5}{12} por -8.

$$x=\frac{-10+10}{3}$$

Suma \frac{10}{3} a -\frac{10}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&\frac{12}{12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}&-\frac{5}{72}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{72}\times 40-\frac{5}{72}\times 88\\\frac{1}{6}\times 40-\frac{1}{6}\times 88\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$12x-5y=40,12x-11y=88$$

Resta 12x-11y=88 de 12x-5y=40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-5y+11y=40-88$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y+11y=40-88$$

Suma -5y a 11y.

$$6y=40-88$$

Suma 40 a -88.

$$6y=-48$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en 12x-11y=88. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

Multiplica -11 por -8.

$$12x+88=88$$

Resta 88 en ambos lados da ecuación.

$$12x=0$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-8$$