Resolver {l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-28$$

$$y=63$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$11x+5y=7$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$11x=-5y+7$$

Divide ambos lados entre 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

Multiplica \frac{1}{11} por -5y+7.

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

Substitúe x por \frac{-5y+7}{11} na outra ecuación, 6x+3y=21.

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

Multiplica 6 por \frac{-5y+7}{11}.

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

Suma -\frac{30y}{11} a 3y.

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

Resta \frac{42}{11} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{11}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=63$$

Substitúe y por 63 en x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

Multiplica -\frac{5}{11} por 63.

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

Suma \frac{7}{11} a -\frac{315}{11} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-28,y=63$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-28,y=63$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

Para que 11x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 11.

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

Simplifica.

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

Resta 66x+33y=231 de 66x+30y=42 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

Suma 66x a -66x. 66x e -66x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$30y-33y=42-231$$

Suma 30y a -33y.

$$-3y=42-231$$

Suma 42 a -231.

$$-3y=-189$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=63$$

Substitúe y por 63 en 6x+3y=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+3\times 63=21$$

Multiplica 3 por 63.

$$6x+189=21$$

Resta 189 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-168$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-28,y=63$$