Resolver {l}{1=2r-3s}{4=3r+2s}

$$\left. \begin{array} { l } { 1 = 2 r - 3 s } \\ { 4 = 3 r + 2 s } \end{array} \right.$$

Resolver r, s

$$r = \frac{14}{13} = 1\frac{1}{13} \approx 1.076923077$$

$$s=\frac{5}{13}\approx 0.384615385$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2r-3s=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3r+2s=4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a r mediante o illamento de r no lado esquerdo do signo igual.

$$2r-3s=1$$

Suma 3s en ambos lados da ecuación.

$$2r=3s+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$r=\frac{1}{2}\left(3s+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3s+1.

$$r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}$$

Substitúe r por \frac{3s+1}{2} na outra ecuación, 3r+2s=4.

$$3\left(\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}\right)+2s=4$$

Multiplica 3 por \frac{3s+1}{2}.

$$\frac{9}{2}s+\frac{3}{2}+2s=4$$

Suma \frac{9s}{2} a 2s.

$$\frac{13}{2}s+\frac{3}{2}=4$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{2}s=\frac{5}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$s=\frac{5}{13}$$

Substitúe s por \frac{5}{13} en r=\frac{3}{2}s+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar r directamente.

$$r=\frac{3}{2}\times \frac{5}{13}+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{5}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$r=\frac{15}{26}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{15}{26} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$r=\frac{14}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2r-3s=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3r+2s=4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}+\frac{3}{13}\times 4\\-\frac{3}{13}+\frac{2}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}r\\s\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{13}\\\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz r e s.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$2r-3s=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Cambia de lado para que todos os termos variables estean no lado esquerdo.

$$3r+2s=4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2r-3s=1,3r+2s=4$$

Para que 2r e 3r sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2r+3\left(-3\right)s=3,2\times 3r+2\times 2s=2\times 4$$

Simplifica.

$$6r-9s=3,6r+4s=8$$

Resta 6r+4s=8 de 6r-9s=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6r-6r-9s-4s=3-8$$

Suma 6r a -6r. 6r e -6r anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9s-4s=3-8$$

Suma -9s a -4s.

$$-13s=3-8$$

Suma 3 a -8.

$$-13s=-5$$

Divide ambos lados entre -13.

$$s=\frac{5}{13}$$

Substitúe s por \frac{5}{13} en 3r+2s=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar r directamente.

$$3r+2\times \frac{5}{13}=4$$

Multiplica 2 por \frac{5}{13}.

$$3r+\frac{10}{13}=4$$

Resta \frac{10}{13} en ambos lados da ecuación.

$$3r=\frac{42}{13}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$r=\frac{14}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$r=\frac{14}{13},s=\frac{5}{13}$$