Resolver {l}{0.4x+0.3y=1.7}{0.7x-0.2y=0.8}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.4 x + 0.3 y = 1.7 } \\ { 0.7 x - 0.2 y = 0.8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.4x+0.3y=1.7$$

Resta \frac{3y}{10} en ambos lados da ecuación.

$$0.4x=-0.3y+1.7$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.4, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=2.5\left(-0.3y+1.7\right)$$

Multiplica 2.5 por \frac{-3y+17}{10}.

$$x=-0.75y+4.25$$

Substitúe x por \frac{-3y+17}{4} na outra ecuación, 0.7x-0.2y=0.8.

$$0.7\left(-0.75y+4.25\right)-0.2y=0.8$$

Multiplica 0.7 por \frac{-3y+17}{4}.

$$-0.525y+2.975-0.2y=0.8$$

Suma -\frac{21y}{40} a -\frac{y}{5}.

$$-0.725y+2.975=0.8$$

Resta 2.975 en ambos lados da ecuación.

$$-0.725y=-2.175$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.725, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-0.75y+4.25. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-0.75\times 3+4.25$$

Multiplica -0.75 por 3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

Suma 4.25 a -2.25 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.4&0.3\\0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&-\frac{0.3}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\\-\frac{0.7}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}&\frac{0.4}{0.4\left(-0.2\right)-0.3\times 0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}&\frac{30}{29}\\\frac{70}{29}&-\frac{40}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.7\\0.8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{29}\times 1.7+\frac{30}{29}\times 0.8\\\frac{70}{29}\times 1.7-\frac{40}{29}\times 0.8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.4x+0.3y=1.7,0.7x-0.2y=0.8$$

Para que \frac{2x}{5} e \frac{7x}{10} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.7 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.4.

$$0.7\times 0.4x+0.7\times 0.3y=0.7\times 1.7,0.4\times 0.7x+0.4\left(-0.2\right)y=0.4\times 0.8$$

Simplifica.

$$0.28x+0.21y=1.19,0.28x-0.08y=0.32$$

Resta 0.28x-0.08y=0.32 de 0.28x+0.21y=1.19 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.28x-0.28x+0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

Suma \frac{7x}{25} a -\frac{7x}{25}. \frac{7x}{25} e -\frac{7x}{25} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.21y+0.08y=1.19-0.32$$

Suma \frac{21y}{100} a \frac{2y}{25}.

$$0.29y=1.19-0.32$$

Suma 1.19 a -0.32 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.29y=0.87$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.29, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 0.7x-0.2y=0.8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$0.7x-0.2\times 3=0.8$$

Multiplica -0.2 por 3.

$$0.7x-0.6=0.8$$

Suma 0.6 en ambos lados da ecuación.

$$0.7x=1.4$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.7, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$