Resolver {l}{-x-3y=12}{-5x-9y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 12 } \\ { - 5 x - 9 y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=-7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x-3y=12$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$-x=3y+12$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(3y+12\right)$$

Multiplica -1 por 12+3y.

$$x=-3y-12$$

Substitúe x por -3y-12 na outra ecuación, -5x-9y=18.

$$-5\left(-3y-12\right)-9y=18$$

Multiplica -5 por -3y-12.

$$15y+60-9y=18$$

Suma 15y a -9y.

$$6y+60=18$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$6y=-42$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en x=-3y-12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3\left(-7\right)-12$$

Multiplica -3 por -7.

$$x=21-12$$

Suma -12 a 21.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\-5&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{1}{-\left(-9\right)-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{5}{6}\times 12+\frac{1}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=-7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x-3y=12,-5x-9y=18$$

Para que -x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-5\left(-1\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 12,-\left(-5\right)x-\left(-9y\right)=-18$$

Simplifica.

$$5x+15y=-60,5x+9y=-18$$

Resta 5x+9y=-18 de 5x+15y=-60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+15y-9y=-60+18$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y-9y=-60+18$$

Suma 15y a -9y.

$$6y=-60+18$$

Suma -60 a 18.

$$6y=-42$$

Divide ambos lados entre 6.

$$y=-7$$

Substitúe y por -7 en -5x-9y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x-9\left(-7\right)=18$$

Multiplica -9 por -7.

$$-5x+63=18$$

Resta 63 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-45$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=-7$$