Resolver {l}{-8x-9y=-10}{-4x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 9 y = - 10 } \\ { - 4 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-10$$

$$y=10$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x-9y=-10$$

Suma 9y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=9y-10$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(9y-10\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por 9y-10.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}$$

Substitúe x por -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4} na outra ecuación, -4x-3y=10.

$$-4\left(-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}\right)-3y=10$$

Multiplica -4 por -\frac{9y}{8}+\frac{5}{4}.

$$\frac{9}{2}y-5-3y=10$$

Suma \frac{9y}{2} a -3y.

$$\frac{3}{2}y-5=10$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}y=15$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en x=-\frac{9}{8}y+\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{9}{8}\times 10+\frac{5}{4}$$

Multiplica -\frac{9}{8} por 10.

$$x=\frac{-45+5}{4}$$

Suma \frac{5}{4} a -\frac{45}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=10$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-9\\-4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{-9}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-\left(-9\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{3}{4}\times 10\\-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{2}{3}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-10,y=10$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x-9y=-10,-4x-3y=10$$

Para que -8x e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$-4\left(-8\right)x-4\left(-9\right)y=-4\left(-10\right),-8\left(-4\right)x-8\left(-3\right)y=-8\times 10$$

Simplifica.

$$32x+36y=40,32x+24y=-80$$

Resta 32x+24y=-80 de 32x+36y=40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$32x-32x+36y-24y=40+80$$

Suma 32x a -32x. 32x e -32x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36y-24y=40+80$$

Suma 36y a -24y.

$$12y=40+80$$

Suma 40 a 80.

$$12y=120$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=10$$

Substitúe y por 10 en -4x-3y=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x-3\times 10=10$$

Multiplica -3 por 10.

$$-4x-30=10$$

Suma 30 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=40$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-10,y=10$$