Resolver {l}{-8x+4y=12}{8x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 12 } \\ { 8 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=9$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x+4y=12$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-4y+12$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+12\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por -4y+12.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

Substitúe x por \frac{-3+y}{2} na outra ecuación, 8x-3y=-3.

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=-3$$

Multiplica 8 por \frac{-3+y}{2}.

$$4y-12-3y=-3$$

Suma 4y a -3y.

$$y-12=-3$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 9-\frac{3}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por 9.

$$x=\frac{9-3}{2}$$

Suma -\frac{3}{2} a \frac{9}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=9$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 12+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\12-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=9$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Para que -8x e 8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 8 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 12,-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$-64x+32y=96,-64x+24y=24$$

Resta -64x+24y=24 de -64x+32y=96 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-64x+64x+32y-24y=96-24$$

Suma -64x a 64x. -64x e 64x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$32y-24y=96-24$$

Suma 32y a -24y.

$$8y=96-24$$

Suma 96 a -24.

$$8y=72$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=9$$

Substitúe y por 9 en 8x-3y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$8x-3\times 9=-3$$

Multiplica -3 por 9.

$$8x-27=-3$$

Suma 27 en ambos lados da ecuación.

$$8x=24$$

Divide ambos lados entre 8.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=9$$