Resolver {l}{-5x+8y=0}{-7x-8y=-96}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 8 y = 0 } \\ { - 7 x - 8 y = - 96 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+8y=0$$

Resta 8y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-8y$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-8\right)y$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -8y.

$$x=\frac{8}{5}y$$

Substitúe x por \frac{8y}{5} na outra ecuación, -7x-8y=-96.

$$-7\times \frac{8}{5}y-8y=-96$$

Multiplica -7 por \frac{8y}{5}.

$$-\frac{56}{5}y-8y=-96$$

Suma -\frac{56y}{5} a -8y.

$$-\frac{96}{5}y=-96$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{96}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=\frac{8}{5}y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{8}{5}\times 5$$

Multiplica \frac{8}{5} por 5.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{96}&-\frac{5}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-96\right)\\-\frac{5}{96}\left(-96\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Para que -5x e -7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -7 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$-7\left(-5\right)x-7\times 8y=0,-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-96\right)$$

Simplifica.

$$35x-56y=0,35x+40y=480$$

Resta 35x+40y=480 de 35x-56y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$35x-35x-56y-40y=-480$$

Suma 35x a -35x. 35x e -35x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-56y-40y=-480$$

Suma -56y a -40y.

$$-96y=-480$$

Divide ambos lados entre -96.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en -7x-8y=-96. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-7x-8\times 5=-96$$

Multiplica -8 por 5.

$$-7x-40=-96$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$-7x=-56$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=5$$