Resolver {l}{-5x+3y=3}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+3y=3$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-3y+3$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -3y+3.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3+3y}{5} na outra ecuación, 4x+3y=30.

$$4\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=30$$

Multiplica 4 por \frac{-3+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+3y=30$$

Suma \frac{12y}{5} a 3y.

$$\frac{27}{5}y-\frac{12}{5}=30$$

Suma \frac{12}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{27}{5}y=\frac{162}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{27}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\times 6-\frac{3}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por 6.

$$x=\frac{18-3}{5}$$

Suma -\frac{3}{5} a \frac{18}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 30\\\frac{4}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Resta 4x+3y=30 de -5x+3y=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-5x-4x+3y-3y=3-30$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5x-4x=3-30$$

Suma -5x a -4x.

$$-9x=3-30$$

Suma 3 a -30.

$$-9x=-27$$

Divide ambos lados entre -9.

$$x=3$$

Substitúe x por 3 en 4x+3y=30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$4\times 3+3y=30$$

Multiplica 4 por 3.

$$12+3y=30$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$3y=18$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=6$$