Resolver {l}{-3y+4x=13}{-5y-6x=-67}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 y + 4 x = 13 } \\ { - 5 y - 6 x = - 67 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=7$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$-3y+4x=13$$

Resta 4x en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-4x+13$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-\frac{1}{3}\left(-4x+13\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -4x+13.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$$

Substitúe y por \frac{4x-13}{3} na outra ecuación, -5y-6x=-67.

$$-5\left(\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}\right)-6x=-67$$

Multiplica -5 por \frac{4x-13}{3}.

$$-\frac{20}{3}x+\frac{65}{3}-6x=-67$$

Suma -\frac{20x}{3} a -6x.

$$-\frac{38}{3}x+\frac{65}{3}=-67$$

Resta \frac{65}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{38}{3}x=-\frac{266}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{38}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=7$$

Substitúe x por 7 en y=\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{4}{3}\times 7-\frac{13}{3}$$

Multiplica \frac{4}{3} por 7.

$$y=\frac{28-13}{3}$$

Suma -\frac{13}{3} a \frac{28}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\-5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-6\right)-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-67\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 13-\frac{2}{19}\left(-67\right)\\\frac{5}{38}\times 13-\frac{3}{38}\left(-67\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=5,x=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3y+4x=13,-5y-6x=-67$$

Para que -3y e -5y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$-5\left(-3\right)y-5\times 4x=-5\times 13,-3\left(-5\right)y-3\left(-6\right)x=-3\left(-67\right)$$

Simplifica.

$$15y-20x=-65,15y+18x=201$$

Resta 15y+18x=201 de 15y-20x=-65 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15y-15y-20x-18x=-65-201$$

Suma 15y a -15y. 15y e -15y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20x-18x=-65-201$$

Suma -20x a -18x.

$$-38x=-65-201$$

Suma -65 a -201.

$$-38x=-266$$

Divide ambos lados entre -38.

$$x=7$$

Substitúe x por 7 en -5y-6x=-67. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-5y-6\times 7=-67$$

Multiplica -6 por 7.

$$-5y-42=-67$$

Suma 42 en ambos lados da ecuación.

$$-5y=-25$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=7$$