Resolver {l}{-3x+y=10}{-2x+4y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 10 } \\ { - 2 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x+y=10$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-y+10$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -y+10.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}$$

Substitúe x por \frac{-10+y}{3} na outra ecuación, -2x+4y=0.

$$-2\left(\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}\right)+4y=0$$

Multiplica -2 por \frac{-10+y}{3}.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}+4y=0$$

Suma -\frac{2y}{3} a 4y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}=0$$

Resta \frac{20}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{20}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{10}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{10}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2.

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

Suma -\frac{10}{3} a -\frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-3\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{3}{-3\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

Para que -3x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$-2\left(-3\right)x-2y=-2\times 10,-3\left(-2\right)x-3\times 4y=0$$

Simplifica.

$$6x-2y=-20,6x-12y=0$$

Resta 6x-12y=0 de 6x-2y=-20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-2y+12y=-20$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+12y=-20$$

Suma -2y a 12y.

$$10y=-20$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en -2x+4y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+4\left(-2\right)=0$$

Multiplica 4 por -2.

$$-2x-8=0$$

Suma 8 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=8$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-2$$