Resolver {l}{-2x+3y=-10}{-3x+3y=-3}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = - 10 } \\ { - 3 x + 3 y = - 3 } \\ \hline \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-7$$

$$y=-8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+3y=-10$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-3y-10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y-10\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+5 na outra ecuación, -3x+3y=-3.

$$-3\left(\frac{3}{2}y+5\right)+3y=-3$$

Multiplica -3 por \frac{3y}{2}+5.

$$-\frac{9}{2}y-15+3y=-3$$

Suma -\frac{9y}{2} a 3y.

$$-\frac{3}{2}y-15=-3$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{2}y=12$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en x=\frac{3}{2}y+5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-8\right)+5$$

Multiplica \frac{3}{2} por -8.

$$x=-12+5$$

Suma 5 a -12.

$$x=-7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=-8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-2\times 3-3\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10-\left(-3\right)\\-10-\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-7,y=-8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+3y=-10,-3x+3y=-3$$

Resta -3x+3y=-3 de -2x+3y=-10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+3x+3y-3y=-10+3$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2x+3x=-10+3$$

Suma -2x a 3x.

$$x=-10+3$$

Suma -10 a 3.

$$x=-7$$

Substitúe x por -7 en -3x+3y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3\left(-7\right)+3y=-3$$

Multiplica -3 por -7.

$$21+3y=-3$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$3y=-24$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=-8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-7,y=-8$$