Resolver {l}{-2x+15y=-24}{2x+9y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 15 y = - 24 } \\ { 2 x + 9 y = 24 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=12$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+15y=-24$$

Resta 15y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-15y-24$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-15y-24\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -15y-24.

$$x=\frac{15}{2}y+12$$

Substitúe x por \frac{15y}{2}+12 na outra ecuación, 2x+9y=24.

$$2\left(\frac{15}{2}y+12\right)+9y=24$$

Multiplica 2 por \frac{15y}{2}+12.

$$15y+24+9y=24$$

Suma 15y a 9y.

$$24y+24=24$$

Resta 24 en ambos lados da ecuación.

$$24y=0$$

Divide ambos lados entre 24.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{15}{2}y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{15}{-2\times 9-15\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{24}&\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-24\right)+\frac{5}{16}\times 24\\\frac{1}{24}\left(-24\right)+\frac{1}{24}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=12,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Para que -2x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$2\left(-2\right)x+2\times 15y=2\left(-24\right),-2\times 2x-2\times 9y=-2\times 24$$

Simplifica.

$$-4x+30y=-48,-4x-18y=-48$$

Resta -4x-18y=-48 de -4x+30y=-48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+30y+18y=-48+48$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$30y+18y=-48+48$$

Suma 30y a 18y.

$$48y=-48+48$$

Suma -48 a 48.

$$48y=0$$

Divide ambos lados entre 48.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 2x+9y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x=24$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=0$$