Resolver {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-0.5x+0.1y=350$$

Resta \frac{y}{10} en ambos lados da ecuación.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

Multiplica -2 por -\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

Substitúe x por \frac{y}{5}-700 na outra ecuación, 0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

Multiplica 0.4 por \frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

Suma \frac{2y}{25} a \frac{y}{5}.

$$0.28y-280=0$$

Suma 280 en ambos lados da ecuación.

$$0.28y=280$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.28, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1000$$

Substitúe y por 1000 en x=0.2y-700. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=0.2\times 1000-700$$

Multiplica 0.2 por 1000.

$$x=200-700$$

Suma -700 a 200.

$$x=-500$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-500,y=1000$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-500,y=1000$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Para que -\frac{x}{2} e \frac{2x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.4 e todos os termos a cada lado da segunda por -0.5.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

Simplifica.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

Resta -0.2x-0.1y=0 de -0.2x+0.04y=140 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

Suma -\frac{x}{5} a \frac{x}{5}. -\frac{x}{5} e \frac{x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.04y+0.1y=140$$

Suma \frac{y}{25} a \frac{y}{10}.

$$0.14y=140$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.14, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1000$$

Substitúe y por 1000 en 0.4x+0.2y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

Multiplica 0.2 por 1000.

$$0.4x+200=0$$

Resta 200 en ambos lados da ecuación.

$$0.4x=-200$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.4, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-500$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-500,y=1000$$