Resolver {l}{x/5-2=y/10}{5x+45=-7y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 5 } - 2 = \frac { y } { 10 } } \\ { 5 x + 45 = - 7 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=-10$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,10.

$$2x-20=y$$

Resta y en ambos lados.

$$2x-20-y=0$$

Engadir 20 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 7y en ambos lados.

$$5x+45+7y=0$$

Resta 45 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$5x+7y=-45$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-y=20$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$2x=y+20$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+20\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por y+20.

$$x=\frac{1}{2}y+10$$

Substitúe x por \frac{y}{2}+10 na outra ecuación, 5x+7y=-45.

$$5\left(\frac{1}{2}y+10\right)+7y=-45$$

Multiplica 5 por \frac{y}{2}+10.

$$\frac{5}{2}y+50+7y=-45$$

Suma \frac{5y}{2} a 7y.

$$\frac{19}{2}y+50=-45$$

Resta 50 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{2}y=-95$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-10$$

Substitúe y por -10 en x=\frac{1}{2}y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)+10$$

Multiplica \frac{1}{2} por -10.

$$x=-5+10$$

Suma 10 a -5.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-10$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,10.

$$2x-20=y$$

Resta y en ambos lados.

$$2x-20-y=0$$

Engadir 20 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 7y en ambos lados.

$$5x+45+7y=0$$

Resta 45 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$5x+7y=-45$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{2\times 7-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{2\times 7-\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-45\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{19}\times 20+\frac{1}{19}\left(-45\right)\\-\frac{5}{19}\times 20+\frac{2}{19}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-10\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=-10$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,10.

$$2x-20=y$$

Resta y en ambos lados.

$$2x-20-y=0$$

Engadir 20 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$2x-y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 7y en ambos lados.

$$5x+45+7y=0$$

Resta 45 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$5x+7y=-45$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-y=20,5x+7y=-45$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\left(-1\right)y=5\times 20,2\times 5x+2\times 7y=2\left(-45\right)$$

Simplifica.

$$10x-5y=100,10x+14y=-90$$

Resta 10x+14y=-90 de 10x-5y=100 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-5y-14y=100+90$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-5y-14y=100+90$$

Suma -5y a -14y.

$$-19y=100+90$$

Suma 100 a 90.

$$-19y=190$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=-10$$

Substitúe y por -10 en 5x+7y=-45. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x+7\left(-10\right)=-45$$

Multiplica 7 por -10.

$$5x-70=-45$$

Suma 70 en ambos lados da ecuación.

$$5x=25$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=-10$$