Resolver {l}{x/4-3/8y=3}{5/3x-y/2=12}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } - \frac { 3 } { 8 } y = 3 } \\ { \frac { 5 } { 3 } x - \frac { y } { 2 } = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 8, o mínimo común denominador de 4,8.

$$2x-3y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$10x-3y=72$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=24$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+24$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+12 na outra ecuación, 10x-3y=72.

$$10\left(\frac{3}{2}y+12\right)-3y=72$$

Multiplica 10 por \frac{3y}{2}+12.

$$15y+120-3y=72$$

Suma 15y a -3y.

$$12y+120=72$$

Resta 120 en ambos lados da ecuación.

$$12y=-48$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=\frac{3}{2}y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-4\right)+12$$

Multiplica \frac{3}{2} por -4.

$$x=-6+12$$

Suma 12 a -6.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 8, o mínimo común denominador de 4,8.

$$2x-3y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$10x-3y=72$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\\-\frac{10}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\72\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 24+\frac{1}{8}\times 72\\-\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 72\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 8, o mínimo común denominador de 4,8.

$$2x-3y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$10x-3y=72$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=24,10x-3y=72$$

Resta 10x-3y=72 de 2x-3y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-10x-3y+3y=24-72$$

Suma -3y a 3y. -3y e 3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2x-10x=24-72$$

Suma 2x a -10x.

$$-8x=24-72$$

Suma 24 a -72.

$$-8x=-48$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=6$$

Substitúe x por 6 en 10x-3y=72. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$10\times 6-3y=72$$

Multiplica 10 por 6.

$$60-3y=72$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=12$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=-4$$