Resolver {l}{3a+1/4-4b-1/7=1}{a+1/3-b+2/4=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 a + 1 } { 4 } - \frac { 4 b - 1 } { 7 } = 1 } \\ { \frac { a + 1 } { 3 } - \frac { b + 2 } { 4 } = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=173$$

$$b=226$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 28, o mínimo común denominador de 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 7 por 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Suma 7 e 4 para obter 11.

$$21a+11-16b=28$$

Resta 11 en ambos lados.

$$21a-16b=28-11$$

Resta 11 de 28 para obter 17.

$$21a-16b=17$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Resta 6 de 4 para obter -2.

$$4a-2-3b=12$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$4a-3b=12+2$$

Suma 12 e 2 para obter 14.

$$4a-3b=14$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$21a-16b=17$$

Suma 16b en ambos lados da ecuación.

$$21a=16b+17$$

Divide ambos lados entre 21.

$$a=\frac{1}{21}\left(16b+17\right)$$

Multiplica \frac{1}{21} por 16b+17.

$$a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}$$

Substitúe a por \frac{16b+17}{21} na outra ecuación, 4a-3b=14.

$$4\left(\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}\right)-3b=14$$

Multiplica 4 por \frac{16b+17}{21}.

$$\frac{64}{21}b+\frac{68}{21}-3b=14$$

Suma \frac{64b}{21} a -3b.

$$\frac{1}{21}b+\frac{68}{21}=14$$

Resta \frac{68}{21} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{21}b=\frac{226}{21}$$

Multiplica ambos lados por 21.

$$b=226$$

Substitúe b por 226 en a=\frac{16}{21}b+\frac{17}{21}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{16}{21}\times 226+\frac{17}{21}$$

Multiplica \frac{16}{21} por 226.

$$a=\frac{3616+17}{21}$$

Suma \frac{17}{21} a \frac{3616}{21} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=173$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=173,b=226$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 28, o mínimo común denominador de 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 7 por 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Suma 7 e 4 para obter 11.

$$21a+11-16b=28$$

Resta 11 en ambos lados.

$$21a-16b=28-11$$

Resta 11 de 28 para obter 17.

$$21a-16b=17$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Resta 6 de 4 para obter -2.

$$4a-2-3b=12$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$4a-3b=12+2$$

Suma 12 e 2 para obter 14.

$$4a-3b=14$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}21&-16\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&-\frac{-16}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\\-\frac{4}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}&\frac{21}{21\left(-3\right)-\left(-16\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&16\\-4&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 17+16\times 14\\-4\times 17+21\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}173\\226\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=173,b=226$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 28, o mínimo común denominador de 4,7.

$$7\left(3a+1\right)-4\left(4b-1\right)=28$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 7 por 3a+1.

$$21a+7-4\left(4b-1\right)=28$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por 4b-1.

$$21a+7-16b+4=28$$

Suma 7 e 4 para obter 11.

$$21a+11-16b=28$$

Resta 11 en ambos lados.

$$21a-16b=28-11$$

Resta 11 de 28 para obter 17.

$$21a-16b=17$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4\left(a+1\right)-3\left(b+2\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por a+1.

$$4a+4-3\left(b+2\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por b+2.

$$4a+4-3b-6=12$$

Resta 6 de 4 para obter -2.

$$4a-2-3b=12$$

Engadir 2 en ambos lados.

$$4a-3b=12+2$$

Suma 12 e 2 para obter 14.

$$4a-3b=14$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$21a-16b=17,4a-3b=14$$

Para que 21a e 4a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 21.

$$4\times 21a+4\left(-16\right)b=4\times 17,21\times 4a+21\left(-3\right)b=21\times 14$$

Simplifica.

$$84a-64b=68,84a-63b=294$$

Resta 84a-63b=294 de 84a-64b=68 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$84a-84a-64b+63b=68-294$$

Suma 84a a -84a. 84a e -84a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-64b+63b=68-294$$

Suma -64b a 63b.

$$-b=68-294$$

Suma 68 a -294.

$$-b=-226$$

Divide ambos lados entre -1.

$$b=226$$

Substitúe b por 226 en 4a-3b=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$4a-3\times 226=14$$

Multiplica -3 por 226.

$$4a-678=14$$

Suma 678 en ambos lados da ecuación.

$$4a=692$$

Divide ambos lados entre 4.

$$a=173$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=173,b=226$$