Resolver {l}{3/4x+1/4y=13/2}{x-3/4y=frac{13}{2}}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 13 } { 2 } } \\ { x - \frac { 3 } { 4 } y = \frac { 13 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=8$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2}$$

Resta \frac{y}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{4}x=-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{4}y+\frac{13}{2}\right)$$

Multiplica \frac{4}{3} por -\frac{y}{4}+\frac{13}{2}.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+26}{3} na outra ecuación, x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Suma -\frac{y}{3} a -\frac{3y}{4}.

$$-\frac{13}{12}y+\frac{26}{3}=\frac{13}{2}$$

Resta \frac{26}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{12}y=-\frac{13}{6}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{12}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{3}y+\frac{26}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2+\frac{26}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 2.

$$x=\frac{-2+26}{3}$$

Suma \frac{26}{3} a -\frac{2}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\1&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\\-\frac{1}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)-\frac{1}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}&\frac{4}{13}\\\frac{16}{13}&-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{13}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}+\frac{4}{13}\times \frac{13}{2}\\\frac{16}{13}\times \frac{13}{2}-\frac{12}{13}\times \frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=8,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}$$

Para que \frac{3x}{4} e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{3}{4}.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\left(-\frac{3}{4}\right)y=\frac{3}{4}\times \frac{13}{2}$$

Simplifica.

$$\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2},\frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8}$$

Resta \frac{3}{4}x-\frac{9}{16}y=\frac{39}{8} de \frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=\frac{13}{2} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Suma \frac{3x}{4} a -\frac{3x}{4}. \frac{3x}{4} e -\frac{3x}{4} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{4}y+\frac{9}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Suma \frac{y}{4} a \frac{9y}{16}.

$$\frac{13}{16}y=\frac{13}{2}-\frac{39}{8}$$

Suma \frac{13}{2} a -\frac{39}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{13}{16}y=\frac{13}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{16}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x-\frac{3}{4}y=\frac{13}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{3}{4}\times 2=\frac{13}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por 2.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$$

Suma \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=8,y=2$$