Resolver {l}{27x/25+9/10y=1008}{11/10x+43/5y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 27 x } { 25 } + \frac { 9 } { 10 } y = 1008 } \\ { \frac { 11 } { 10 } x + \frac { 43 } { 5 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{430200}{461} = 933\frac{87}{461} \approx 933.188720174$$

$$y=\frac{80}{461}\approx 0.173535792$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 50, o mínimo común denominador de 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Multiplica 2 e 27 para obter 54.

$$54x+45y=50400$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$54x+45y=50400$$

Resta 45y en ambos lados da ecuación.

$$54x=-45y+50400$$

Divide ambos lados entre 54.

$$x=\frac{1}{54}\left(-45y+50400\right)$$

Multiplica \frac{1}{54} por -45y+50400.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Substitúe x por -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} na outra ecuación, \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{43}{5}y=1028$$

Multiplica \frac{11}{10} por -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{11}{12}y+\frac{3080}{3}+\frac{43}{5}y=1028$$

Suma -\frac{11y}{12} a \frac{43y}{5}.

$$\frac{461}{60}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Resta \frac{3080}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{461}{60}y=\frac{4}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{461}{60}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{80}{461}$$

Substitúe y por \frac{80}{461} en x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{6}\times \frac{80}{461}+\frac{2800}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{6} por \frac{80}{461} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{200}{1383}+\frac{2800}{3}$$

Suma \frac{2800}{3} a -\frac{200}{1383} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{430200}{461}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 50, o mínimo común denominador de 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Multiplica 2 e 27 para obter 54.

$$54x+45y=50400$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}54&45\\\frac{11}{10}&\frac{43}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{43}{5}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&-\frac{45}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}&\frac{54}{54\times \frac{43}{5}-45\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}&-\frac{50}{461}\\-\frac{11}{4149}&\frac{60}{461}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50400\\1028\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{86}{4149}\times 50400-\frac{50}{461}\times 1028\\-\frac{11}{4149}\times 50400+\frac{60}{461}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{430200}{461}\\\frac{80}{461}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 50, o mínimo común denominador de 25,10.

$$2\times 27x+45y=50400$$

Multiplica 2 e 27 para obter 54.

$$54x+45y=50400$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$54x+45y=50400,\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028$$

Para que 54x e \frac{11x}{10} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{11}{10} e todos os termos a cada lado da segunda por 54.

$$\frac{11}{10}\times 54x+\frac{11}{10}\times 45y=\frac{11}{10}\times 50400,54\times \frac{11}{10}x+54\times \frac{43}{5}y=54\times 1028$$

Simplifica.

$$\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440,\frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512$$

Resta \frac{297}{5}x+\frac{2322}{5}y=55512 de \frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y=55440 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{297}{5}x-\frac{297}{5}x+\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Suma \frac{297x}{5} a -\frac{297x}{5}. \frac{297x}{5} e -\frac{297x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{99}{2}y-\frac{2322}{5}y=55440-55512$$

Suma \frac{99y}{2} a -\frac{2322y}{5}.

$$-\frac{4149}{10}y=55440-55512$$

Suma 55440 a -55512.

$$-\frac{4149}{10}y=-72$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4149}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{80}{461}$$

Substitúe y por \frac{80}{461} en \frac{11}{10}x+\frac{43}{5}y=1028. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{11}{10}x+\frac{43}{5}\times \frac{80}{461}=1028$$

Multiplica \frac{43}{5} por \frac{80}{461} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{11}{10}x+\frac{688}{461}=1028$$

Resta \frac{688}{461} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{10}x=\frac{473220}{461}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{430200}{461}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{430200}{461},y=\frac{80}{461}$$