Resolver {l}{2x-y+3/3-x-2y+3/4=4}{3x-4y+3/4+4x-2y-9/3=4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x - y + 3 } { 3 } - \frac { x - 2 y + 3 } { 4 } = 4 } \\ { \frac { 3 x - 4 y + 3 } { 4 } + \frac { 4 x - 2 y - 9 } { 3 } = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Combina 8x e -3x para obter 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Combina -4y e 6y para obter 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Resta 9 de 12 para obter 3.

$$5x+2y+3=48$$

Resta 3 en ambos lados.

$$5x+2y=48-3$$

Resta 3 de 48 para obter 45.

$$5x+2y=45$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Combina 9x e 16x para obter 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Combina -12y e -8y para obter -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Resta 36 de 9 para obter -27.

$$25x-20y-27=48$$

Engadir 27 en ambos lados.

$$25x-20y=48+27$$

Suma 48 e 27 para obter 75.

$$25x-20y=75$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+2y=45$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-2y+45$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+45\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -2y+45.

$$x=-\frac{2}{5}y+9$$

Substitúe x por -\frac{2y}{5}+9 na outra ecuación, 25x-20y=75.

$$25\left(-\frac{2}{5}y+9\right)-20y=75$$

Multiplica 25 por -\frac{2y}{5}+9.

$$-10y+225-20y=75$$

Suma -10y a -20y.

$$-30y+225=75$$

Resta 225 en ambos lados da ecuación.

$$-30y=-150$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{2}{5}y+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{5}\times 5+9$$

Multiplica -\frac{2}{5} por 5.

$$x=-2+9$$

Suma 9 a -2.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Combina 8x e -3x para obter 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Combina -4y e 6y para obter 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Resta 9 de 12 para obter 3.

$$5x+2y+3=48$$

Resta 3 en ambos lados.

$$5x+2y=48-3$$

Resta 3 de 48 para obter 45.

$$5x+2y=45$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Combina 9x e 16x para obter 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Combina -12y e -8y para obter -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Resta 36 de 9 para obter -27.

$$25x-20y-27=48$$

Engadir 27 en ambos lados.

$$25x-20y=48+27$$

Suma 48 e 27 para obter 75.

$$25x-20y=75$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\25&-20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{5\left(-20\right)-2\times 25}&-\frac{2}{5\left(-20\right)-2\times 25}\\-\frac{25}{5\left(-20\right)-2\times 25}&\frac{5}{5\left(-20\right)-2\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&\frac{1}{75}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\75\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 45+\frac{1}{75}\times 75\\\frac{1}{6}\times 45-\frac{1}{30}\times 75\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4\left(2x-y+3\right)-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x-y+3.

$$8x-4y+12-3\left(x-2y+3\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x-2y+3.

$$8x-4y+12-3x+6y-9=48$$

Combina 8x e -3x para obter 5x.

$$5x-4y+12+6y-9=48$$

Combina -4y e 6y para obter 2y.

$$5x+2y+12-9=48$$

Resta 9 de 12 para obter 3.

$$5x+2y+3=48$$

Resta 3 en ambos lados.

$$5x+2y=48-3$$

Resta 3 de 48 para obter 45.

$$5x+2y=45$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,3.

$$3\left(3x-4y+3\right)+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-4y+3.

$$9x-12y+9+4\left(4x-2y-9\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 4x-2y-9.

$$9x-12y+9+16x-8y-36=48$$

Combina 9x e 16x para obter 25x.

$$25x-12y+9-8y-36=48$$

Combina -12y e -8y para obter -20y.

$$25x-20y+9-36=48$$

Resta 36 de 9 para obter -27.

$$25x-20y-27=48$$

Engadir 27 en ambos lados.

$$25x-20y=48+27$$

Suma 48 e 27 para obter 75.

$$25x-20y=75$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+2y=45,25x-20y=75$$

Para que 5x e 25x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 25 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$25\times 5x+25\times 2y=25\times 45,5\times 25x+5\left(-20\right)y=5\times 75$$

Simplifica.

$$125x+50y=1125,125x-100y=375$$

Resta 125x-100y=375 de 125x+50y=1125 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$125x-125x+50y+100y=1125-375$$

Suma 125x a -125x. 125x e -125x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$50y+100y=1125-375$$

Suma 50y a 100y.

$$150y=1125-375$$

Suma 1125 a -375.

$$150y=750$$

Divide ambos lados entre 150.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 25x-20y=75. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$25x-20\times 5=75$$

Multiplica -20 por 5.

$$25x-100=75$$

Suma 100 en ambos lados da ecuación.

$$25x=175$$

Divide ambos lados entre 25.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=5$$