Resolver {l}{2x+3/3y-2=1}{x(2y-5)-2y(x+3)=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 3 } { 3 y - 2 } = 1 } \\ { x ( 2 y - 5 ) - 2 y ( x + 3 ) = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a \frac{2}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x+3-3y=-2$$

Resta 3 en ambos lados.

$$2x-3y=-2-3$$

Resta 3 de -2 para obter -5.

$$2x-3y=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Resta 2x en ambos lados.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2y por x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Combina 2xy e -2yx para obter 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Combina -5x e -2x para obter -7x.

$$-7x-6y=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=-5$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y-5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y-5}{2} na outra ecuación, -7x-6y=1.

$$-7\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)-6y=1$$

Multiplica -7 por \frac{3y-5}{2}.

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-6y=1$$

Suma -\frac{21y}{2} a -6y.

$$-\frac{33}{2}y+\frac{35}{2}=1$$

Resta \frac{35}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{33}{2}y=-\frac{33}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{33}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3-5}{2}$$

Suma -\frac{5}{2} a \frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a \frac{2}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x+3-3y=-2$$

Resta 3 en ambos lados.

$$2x-3y=-2-3$$

Resta 3 de -2 para obter -5.

$$2x-3y=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Resta 2x en ambos lados.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2y por x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Combina 2xy e -2yx para obter 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Combina -5x e -2x para obter -7x.

$$-7x-6y=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-7&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-6\right)-\left(-3\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)-\frac{1}{11}\\-\frac{7}{33}\left(-5\right)-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a \frac{2}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3y-2.

$$2x+3=3y-2$$

Resta 3y en ambos lados.

$$2x+3-3y=-2$$

Resta 3 en ambos lados.

$$2x-3y=-2-3$$

Resta 3 de -2 para obter -5.

$$2x-3y=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 2y-5.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)=2x+1$$

Resta 2x en ambos lados.

$$2xy-5x-2y\left(x+3\right)-2x=1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2y por x+3.

$$2xy-5x-2yx-6y-2x=1$$

Combina 2xy e -2yx para obter 0.

$$-5x-6y-2x=1$$

Combina -5x e -2x para obter -7x.

$$-7x-6y=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=-5,-7x-6y=1$$

Para que 2x e -7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -7 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-7\times 2x-7\left(-3\right)y=-7\left(-5\right),2\left(-7\right)x+2\left(-6\right)y=2$$

Simplifica.

$$-14x+21y=35,-14x-12y=2$$

Resta -14x-12y=2 de -14x+21y=35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-14x+14x+21y+12y=35-2$$

Suma -14x a 14x. -14x e 14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$21y+12y=35-2$$

Suma 21y a 12y.

$$33y=35-2$$

Suma 35 a -2.

$$33y=33$$

Divide ambos lados entre 33.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -7x-6y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-7x-6=1$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-7x=7$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=1$$