Resolver {l}{1/2x-2/3y-5=0}{3y+x=6}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 2 } { 3 } y - 5 = 0 } \\ { 3 y + x = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{114}{13} = 8\frac{10}{13} \approx 8.769230769$$

$$y=-\frac{12}{13}\approx -0.923076923$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y=5$$

Suma \frac{2y}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y+5$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$x=2\left(\frac{2}{3}y+5\right)$$

Multiplica 2 por \frac{2y}{3}+5.

$$x=\frac{4}{3}y+10$$

Substitúe x por \frac{4y}{3}+10 na outra ecuación, x+3y=6.

$$\frac{4}{3}y+10+3y=6$$

Suma \frac{4y}{3} a 3y.

$$\frac{13}{3}y+10=6$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{3}y=-4$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{12}{13}$$

Substitúe y por -\frac{12}{13} en x=\frac{4}{3}y+10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{12}{13}\right)+10$$

Multiplica \frac{4}{3} por -\frac{12}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{16}{13}+10$$

Suma 10 a -\frac{16}{13}.

$$x=\frac{114}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{2}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times 3-\left(-\frac{2}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{6}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{13}\times 5+\frac{4}{13}\times 6\\-\frac{6}{13}\times 5+\frac{3}{13}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{114}{13}\\-\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,x+3y=6$$

Para que \frac{x}{2} e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\times 3y=\frac{1}{2}\times 6$$

Simplifica.

$$\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0,\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3$$

Resta \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=3 de \frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-5=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Suma \frac{x}{2} a -\frac{x}{2}. \frac{x}{2} e -\frac{x}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{2}{3}y-\frac{3}{2}y-5=-3$$

Suma -\frac{2y}{3} a -\frac{3y}{2}.

$$-\frac{13}{6}y-5=-3$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{6}y=2$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{12}{13}$$

Substitúe y por -\frac{12}{13} en x+3y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+3\left(-\frac{12}{13}\right)=6$$

Multiplica 3 por -\frac{12}{13}.

$$x-\frac{36}{13}=6$$

Suma \frac{36}{13} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{114}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{114}{13},y=-\frac{12}{13}$$