Resolver {c}{y=x-3}{2x+y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { y = x - 3 } \\ { 2 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-x=-3,y+2x=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-x=-3$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$y=x-3$$

Substitúe y por x-3 na outra ecuación, y+2x=3.

$$x-3+2x=3$$

Suma x a 2x.

$$3x-3=3$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=x-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2-3$$

Suma -3 a 2.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-x=-3,y+2x=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-1,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-x=-3,y+2x=3$$

Resta y+2x=3 de y-x=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-x-2x=-3-3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-x-2x=-3-3$$

Suma -x a -2x.

$$-3x=-3-3$$

Suma -3 a -3.

$$-3x=-6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y+2x=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+2\times 2=3$$

Multiplica 2 por 2.

$$y+4=3$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=2$$