Resolver {c}{y=2x+16}{-3x+y=20}

$$\left. \begin{array} { c } { y = 2 x + 16 } \\ { - 3 x + y = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-4$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=16$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=16$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x+16$$

Substitúe y por 16+2x na outra ecuación, y-3x=20.

$$2x+16-3x=20$$

Suma 2x a -3x.

$$-x+16=20$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$-x=4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-4$$

Substitúe x por -4 en y=2x+16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\left(-4\right)+16$$

Multiplica 2 por -4.

$$y=-8+16$$

Suma 16 a -8.

$$y=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=8,x=-4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=16$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-2\right)}&\frac{1}{-3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 16-2\times 20\\16-20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=8,x=-4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=16$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=16,y-3x=20$$

Resta y-3x=20 de y-2x=16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-2x+3x=16-20$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2x+3x=16-20$$

Suma -2x a 3x.

$$x=16-20$$

Suma 16 a -20.

$$x=-4$$

Substitúe x por -4 en y-3x=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-3\left(-4\right)=20$$

Multiplica -3 por -4.

$$y+12=20$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$y=8$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=8,x=-4$$