Resolver {c}{4x+2y=8}{16x-y=14}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=8$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y+8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+2 na outra ecuación, 16x-y=14.

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

Multiplica 16 por -\frac{y}{2}+2.

$$-8y+32-y=14$$

Suma -8y a -y.

$$-9y+32=14$$

Resta 32 en ambos lados da ecuación.

$$-9y=-18$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{2}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 2.

$$x=-1+2$$

Suma 2 a -1.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Para que 4x e 16x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 16 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

Simplifica.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

Resta 64x-4y=56 de 64x+32y=128 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

Suma 64x a -64x. 64x e -64x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$32y+4y=128-56$$

Suma 32y a 4y.

$$36y=128-56$$

Suma 128 a -56.

$$36y=72$$

Divide ambos lados entre 36.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 16x-y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$16x-2=14$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$16x=16$$

Divide ambos lados entre 16.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=2$$