Resolver {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+4y=1$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-4y+1$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por -2y+\frac{1}{2} na outra ecuación, 5x-y=2.

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

Multiplica 5 por -2y+\frac{1}{2}.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

Suma -10y a -y.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

Resta \frac{5}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=\frac{1}{22}$$

Substitúe y por \frac{1}{22} en x=-2y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

Multiplica -2 por \frac{1}{22}.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a -\frac{1}{11} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{9}{22}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Simplifica.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

Resta 10x-2y=4 de 10x+20y=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20y+2y=5-4$$

Suma 20y a 2y.

$$22y=5-4$$

Suma 5 a -4.

$$22y=1$$

Divide ambos lados entre 22.

$$y=\frac{1}{22}$$

Substitúe y por \frac{1}{22} en 5x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

Suma \frac{1}{22} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{45}{22}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{9}{22}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$