Resolver {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$10x+14y=460$$

Resta 14y en ambos lados da ecuación.

$$10x=-14y+460$$

Divide ambos lados entre 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

Multiplica \frac{1}{10} por -14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

Substitúe x por -\frac{7y}{5}+46 na outra ecuación, x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

Suma -\frac{7y}{5} a y.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

Resta 46 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{2}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x=-\frac{7}{5}y+46. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

Multiplica -\frac{7}{5} por 15.

$$x=-21+46$$

Suma 46 a -21.

$$x=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=25,y=15$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=25,y=15$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Para que 10x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 10.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

Simplifica.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

Resta 10x+10y=400 de 10x+14y=460 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$14y-10y=460-400$$

Suma 14y a -10y.

$$4y=460-400$$

Suma 460 a -400.

$$4y=60$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x+y=40. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+15=40$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$x=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=25,y=15$$