Resolver {c}{0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963}{0.998x_{2}+0.361x_{1}=4.958}

$$\left. \begin{array} { c } { 0.168 x _ { 1 } + 0.361 x _ { 2 } = 1.963 } \\ { 0.998 x _ { 2 } + 0.361 x _ { 1 } = 4.958 } \end{array} \right.$$

Resolver x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{169236}{37343} = 4\frac{19864}{37343} \approx 4.531933696$$

$$x_{2} = \frac{124301}{37343} = 3\frac{12272}{37343} \approx 3.328629194$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x_{1} mediante o illamento de x_{1} no lado esquerdo do signo igual.

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963$$

Resta \frac{361x_{2}}{1000} en ambos lados da ecuación.

$$0.168x_{1}=-0.361x_{2}+1.963$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.168, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x_{1}=\frac{125}{21}\left(-0.361x_{2}+1.963\right)$$

Multiplica \frac{125}{21} por \frac{-361x_{2}+1963}{1000}.

$$x_{1}=-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168}$$

Substitúe x_{1} por \frac{-361x_{2}+1963}{168} na outra ecuación, 0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958.

$$0.361\left(-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168}\right)+0.998x_{2}=4.958$$

Multiplica 0.361 por \frac{-361x_{2}+1963}{168}.

$$-\frac{130321}{168000}x_{2}+\frac{708643}{168000}+0.998x_{2}=4.958$$

Suma -\frac{130321x_{2}}{168000} a \frac{499x_{2}}{500}.

$$\frac{37343}{168000}x_{2}+\frac{708643}{168000}=4.958$$

Resta \frac{708643}{168000} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{37343}{168000}x_{2}=\frac{124301}{168000}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{37343}{168000}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

Substitúe x_{2} por \frac{124301}{37343} en x_{1}=-\frac{361}{168}x_{2}+\frac{1963}{168}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$x_{1}=-\frac{361}{168}\times \frac{124301}{37343}+\frac{1963}{168}$$

Multiplica -\frac{361}{168} por \frac{124301}{37343} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x_{1}=-\frac{44872661}{6273624}+\frac{1963}{168}$$

Suma \frac{1963}{168} a -\frac{44872661}{6273624} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.168&0.361\\0.361&0.998\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.998}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}&-\frac{0.361}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}\\-\frac{0.361}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}&\frac{0.168}{0.168\times 0.998-0.361\times 0.361}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{998000}{37343}&-\frac{361000}{37343}\\-\frac{361000}{37343}&\frac{168000}{37343}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.963\\4.958\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{998000}{37343}\times 1.963-\frac{361000}{37343}\times 4.958\\-\frac{361000}{37343}\times 1.963+\frac{168000}{37343}\times 4.958\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{169236}{37343}\\\frac{124301}{37343}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x_{1} e x_{2}.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.168x_{1}+0.361x_{2}=1.963,0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958$$

Para que \frac{21x_{1}}{125} e \frac{361x_{1}}{1000} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.361 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.168.

$$0.361\times 0.168x_{1}+0.361\times 0.361x_{2}=0.361\times 1.963,0.168\times 0.361x_{1}+0.168\times 0.998x_{2}=0.168\times 4.958$$

Simplifica.

$$0.060648x_{1}+0.130321x_{2}=0.708643,0.060648x_{1}+0.167664x_{2}=0.832944$$

Resta 0.060648x_{1}+0.167664x_{2}=0.832944 de 0.060648x_{1}+0.130321x_{2}=0.708643 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.060648x_{1}-0.060648x_{1}+0.130321x_{2}-0.167664x_{2}=0.708643-0.832944$$

Suma \frac{7581x_{1}}{125000} a -\frac{7581x_{1}}{125000}. \frac{7581x_{1}}{125000} e -\frac{7581x_{1}}{125000} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.130321x_{2}-0.167664x_{2}=0.708643-0.832944$$

Suma \frac{130321x_{2}}{1000000} a -\frac{10479x_{2}}{62500}.

$$-0.037343x_{2}=0.708643-0.832944$$

Suma 0.708643 a -0.832944 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-0.037343x_{2}=-0.124301$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.037343, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x_{2}=\frac{124301}{37343}$$

Substitúe x_{2} por \frac{124301}{37343} en 0.361x_{1}+0.998x_{2}=4.958. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$0.361x_{1}+0.998\times \frac{124301}{37343}=4.958$$

Multiplica 0.998 por \frac{124301}{37343} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.361x_{1}+\frac{62026199}{18671500}=4.958$$

Resta \frac{62026199}{18671500} en ambos lados da ecuación.

$$0.361x_{1}=\frac{15273549}{9335750}$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.361, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=\frac{169236}{37343},x_{2}=\frac{124301}{37343}$$