Resolver {c}{-3x+5y=2}{x+10y=-24}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 5 y = 2 } \\ { x + 10 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x+5y=2$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=-5y+2$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-5y+2\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -5y+2.

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}$$

Substitúe x por \frac{5y-2}{3} na outra ecuación, x+10y=-24.

$$\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}+10y=-24$$

Suma \frac{5y}{3} a 10y.

$$\frac{35}{3}y-\frac{2}{3}=-24$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{35}{3}y=-\frac{70}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{35}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=\frac{5}{3}y-\frac{2}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}$$

Multiplica \frac{5}{3} por -2.

$$x=\frac{-10-2}{3}$$

Suma -\frac{2}{3} a -\frac{10}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-3\times 10-5}&-\frac{5}{-3\times 10-5}\\-\frac{1}{-3\times 10-5}&-\frac{3}{-3\times 10-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{1}{35}&\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\left(-24\right)\\\frac{1}{35}\times 2+\frac{3}{35}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x+5y=2,x+10y=-24$$

Para que -3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$-3x+5y=2,-3x-3\times 10y=-3\left(-24\right)$$

Simplifica.

$$-3x+5y=2,-3x-30y=72$$

Resta -3x-30y=72 de -3x+5y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3x+3x+5y+30y=2-72$$

Suma -3x a 3x. -3x e 3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y+30y=2-72$$

Suma 5y a 30y.

$$35y=2-72$$

Suma 2 a -72.

$$35y=-70$$

Divide ambos lados entre 35.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x+10y=-24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+10\left(-2\right)=-24$$

Multiplica 10 por -2.

$$x-20=-24$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-2$$