Resolver {c}{-3a+5b=11}{6a+2b=26}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 a + 5 b = 11 } \\ { 6 a + 2 b = 26 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=3$$

$$b=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$-3a+5b=11$$

Resta 5b en ambos lados da ecuación.

$$-3a=-5b+11$$

Divide ambos lados entre -3.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-5b+11\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -5b+11.

$$a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}$$

Substitúe a por \frac{5b-11}{3} na outra ecuación, 6a+2b=26.

$$6\left(\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}\right)+2b=26$$

Multiplica 6 por \frac{5b-11}{3}.

$$10b-22+2b=26$$

Suma 10b a 2b.

$$12b-22=26$$

Suma 22 en ambos lados da ecuación.

$$12b=48$$

Divide ambos lados entre 12.

$$b=4$$

Substitúe b por 4 en a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=\frac{5}{3}\times 4-\frac{11}{3}$$

Multiplica \frac{5}{3} por 4.

$$a=\frac{20-11}{3}$$

Suma -\frac{11}{3} a \frac{20}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{5}{-3\times 2-5\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{3}{-3\times 2-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&\frac{5}{36}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\times 11+\frac{5}{36}\times 26\\\frac{1}{6}\times 11+\frac{1}{12}\times 26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=3,b=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

Para que -3a e 6a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$6\left(-3\right)a+6\times 5b=6\times 11,-3\times 6a-3\times 2b=-3\times 26$$

Simplifica.

$$-18a+30b=66,-18a-6b=-78$$

Resta -18a-6b=-78 de -18a+30b=66 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-18a+18a+30b+6b=66+78$$

Suma -18a a 18a. -18a e 18a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$30b+6b=66+78$$

Suma 30b a 6b.

$$36b=66+78$$

Suma 66 a 78.

$$36b=144$$

Divide ambos lados entre 36.

$$b=4$$

Substitúe b por 4 en 6a+2b=26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$6a+2\times 4=26$$

Multiplica 2 por 4.

$$6a+8=26$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$6a=18$$

Divide ambos lados entre 6.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=4$$