Resolver {l}{y=2x-5}{2x-3y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x - 5 } \\ { 2 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=-5,-3y+2x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=-5$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x-5$$

Substitúe y por 2x-5 na outra ecuación, -3y+2x=7.

$$-3\left(2x-5\right)+2x=7$$

Multiplica -3 por 2x-5.

$$-6x+15+2x=7$$

Suma -6x a 2x.

$$-4x+15=7$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-8$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=2x-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\times 2-5$$

Multiplica 2 por 2.

$$y=4-5$$

Suma -5 a 4.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=-5,-3y+2x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\times 7\\-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-1,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=-5,-3y+2x=7$$

Para que y e -3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-3y-3\left(-2\right)x=-3\left(-5\right),-3y+2x=7$$

Simplifica.

$$-3y+6x=15,-3y+2x=7$$

Resta -3y+2x=7 de -3y+6x=15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-3y+3y+6x-2x=15-7$$

Suma -3y a 3y. -3y e 3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6x-2x=15-7$$

Suma 6x a -2x.

$$4x=15-7$$

Suma 15 a -7.

$$4x=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en -3y+2x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-3y+2\times 2=7$$

Multiplica 2 por 2.

$$-3y+4=7$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=3$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-1,x=2$$