Resolver {l}{y=2x+1}{5y-7x=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x + 1 } \\ { 5 y - 7 x = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-2x=1$$

Suma 2x en ambos lados da ecuación.

$$y=2x+1$$

Substitúe y por 2x+1 na outra ecuación, 5y-7x=11.

$$5\left(2x+1\right)-7x=11$$

Multiplica 5 por 2x+1.

$$10x+5-7x=11$$

Suma 10x a -7x.

$$3x+5=11$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$3x=6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=2x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=2\times 2+1$$

Multiplica 2 por 2.

$$y=4+1$$

Suma 1 a 4.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{-7-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{-7-\left(-2\times 5\right)}&\frac{1}{-7-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{5}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}+\frac{2}{3}\times 11\\-\frac{5}{3}+\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=5,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 2x en ambos lados.

$$y-2x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-2x=1,5y-7x=11$$

Para que y e 5y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5y+5\left(-2\right)x=5,5y-7x=11$$

Simplifica.

$$5y-10x=5,5y-7x=11$$

Resta 5y-7x=11 de 5y-10x=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5y-5y-10x+7x=5-11$$

Suma 5y a -5y. 5y e -5y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10x+7x=5-11$$

Suma -10x a 7x.

$$-3x=5-11$$

Suma 5 a -11.

$$-3x=-6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en 5y-7x=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5y-7\times 2=11$$

Multiplica -7 por 2.

$$5y-14=11$$

Suma 14 en ambos lados da ecuación.

$$5y=25$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=5,x=2$$