Resolver {l}{y=-7x+3}{y=-x-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 7 x + 3 } \\ { y = - x - 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=1$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 7x en ambos lados.

$$y+7x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+7x=3,y+x=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+7x=3$$

Resta 7x en ambos lados da ecuación.

$$y=-7x+3$$

Substitúe y por -7x+3 na outra ecuación, y+x=-3.

$$-7x+3+x=-3$$

Suma -7x a x.

$$-6x+3=-3$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-6x=-6$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y=-7x+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-7+3$$

Suma 3 a -7.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-4,x=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 7x en ambos lados.

$$y+7x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+7x=3,y+x=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&7\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&7\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-7}&-\frac{7}{1-7}\\-\frac{1}{1-7}&\frac{1}{1-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{7}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 3+\frac{7}{6}\left(-3\right)\\\frac{1}{6}\times 3-\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-4,x=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 7x en ambos lados.

$$y+7x=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir x en ambos lados.

$$y+x=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+7x=3,y+x=-3$$

Resta y+x=-3 de y+7x=3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+7x-x=3+3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$7x-x=3+3$$

Suma 7x a -x.

$$6x=3+3$$

Suma 3 a 3.

$$6x=6$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=1$$

Substitúe x por 1 en y+x=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+1=-3$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-4,x=1$$