Resolver {l}{y=-5x+1}{5x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+5x=1$$

Resta 5x en ambos lados da ecuación.

$$y=-5x+1$$

Substitúe y por -5x+1 na outra ecuación, 2y+5x=7.

$$2\left(-5x+1\right)+5x=7$$

Multiplica 2 por -5x+1.

$$-10x+2+5x=7$$

Suma -10x a 5x.

$$-5x+2=7$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=5$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=-5x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

Multiplica -5 por -1.

$$y=5+1$$

Suma 1 a 5.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=1$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\times 2}&-\frac{5}{5-5\times 2}\\-\frac{2}{5-5\times 2}&\frac{1}{5-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+7\\\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=6,x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 5x en ambos lados.

$$y+5x=1$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

Resta 2y+5x=7 de y+5x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-2y+5x-5x=1-7$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-2y=1-7$$

Suma y a -2y.

$$-y=1-7$$

Suma 1 a -7.

$$-y=-6$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 2y+5x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2\times 6+5x=7$$

Multiplica 2 por 6.

$$12+5x=7$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$5x=-5$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=-1$$